2016.4.7追記
こちらも参考にしてください。
「iCloudメール、携帯メール、iMessageの違いと注意点」
2015.5.26修正追記
全体を今の情報に修正しました。
2014.11.23追記
auについての記述が古いのであくまでも参考にしてください。
簡単にメッセージアプリとメールアプリの違いを整理。
- メッセージアプリ
SMS(Cメール)とMMS(Eメールの様な物)の送受信ができます。
（これ以外にiPhone同士でメッセージをやりとりするiMessageが使えます）
MMSを使う場合にはiPhoneの設定で「MMSメールアドレス」を正しく入力しましょう。また設定の「MMSメッセージ」は絶対にオフにしないこと。オフにすると新着メッセージが勝手に消えます。メッセージの情報はiPhoneの中に保存されているのでPCなどへiTunesを使ってバックアップできます。MNPしても正しく移行すると残ります。
- メールアプリ
パソコンのメールソフトと同様にIMAP、Exchage、pop3を使ったメールの受信とSMTPによる送信ができます。
またiCloudを設定すると自動的に@icloud.comのメールが設定されます。
各社プロファイルという設定済みファイルを用意しており、簡単に使える様工夫していますが、インストールがちょっとわかりにくいです。
複数のメールが設定されている場合はどのメールアドレスから送信するかの選択ができますが、iPhoneの設定で初期値を選ぶこともできます。このメールはiPhone内に保存されていません。設定を消すとそのアドレスのメールはすべて見えなくなりますが再設定すると復活できます(pop3を除く)
MNPする場合には転送するなどしておかないとメールが消えます。
基本をふまえてキャリアごとの違いをまとめると。
auの場合。
- 基本
@ezweb.ne.jpのメールをどちらかのアプリを使ってやりとりします。EZwebのメールアドレスを別々に設定することはできません。両方に同じ内容を受信することはできます（送信は別々になるので注意） - メッセージアプリ
auサポートからメール設定で「メッセージアプリ(MMS)でEZwebメールを利用する」を選択することにより@ezweb.ne.jpのメールをMMSとして送受信できます。
他社やPCからの添付写真などが正しく受け取れないことがあるので、そういう用途が多い人はメールアプリの方が良いと思います。 - メールアプリ
「メールアプリ(Eメール)でEZwebメールを利用する」の方を選択するとIMAPのサービスとして@ezweb.ne.jpのメールが送受信できます。
ソフトバンクの場合
- メッセージアプリ
MMSとして@softbank.ne.jp(ソフトバンクの一般的なメールアドレス)が送受信できます。 - メールアプリ
Eメール(i)というiPhone専用のメールアドレス(@i.softbank.jp)が送受信できます。
他社には同様のサービスは無いのでMNPする場合には注意が必要です。またAndroidなどに機種変更すると使えなくなります。
ソフトバンクのメール・メッセージ（操作・設定）で説明されています。
ドコモの場合
ドコモメールの送受信には使えません。SMSの送受信とiMessageに使えます。
ドコモメール(spモードメールのクラウド利用)が送受信できます。
spモード（iモード契約可）の契約のままではメールが使えないのでspモードで利用する設定（メールアドレス入れ替え設定）が必要です。またspモードメールのクラウド利用も必須です。
NTTドコモのドコモメールで説明されています。