たぶんAndroidのメールアプリでも同じだと思いますがメッセージアプリではなくメールアプリを使っている方は以下の点について注意しましょう。
・Fromに送り主の名前が入る。
パソコンのメールを使っている人ならわかると思いますが自分の情報として設定した名前とメールアドレスが相手に送られます。
iPhoneの場合は設定アプリの「メール/連絡先/カレンダー」にあるアカウント情報の中に名前があります。下手に触るとメールが送れなくなったりしますので注意してください。
場所は「IMAPアカウント情報」の名前、「ICLOUDアカウント情報」の名前などです。
auで以前のリアルタイム受信を設定した方は途中で名前の入力があったはずです。
通常は名前が入ってても困らないと思いますがハンドルネームや通称名と使い分けたい方は空欄にするかメールアドレスをそのまま入れるなどの対応をした方が良いでしょう。
・Toに自分のアドレス帳の名前が入る。
相手の方がガラケーだとほとんど問題は起きませんがスマホだとあなたが入れたアドレス帳の名前が相手のメールの宛先として送られてしまいます。
iPhoneならば連絡先の「姓」「名」欄を引っ付けた名前が相手に届きますので自分でわかりやすくするためにあだ名とか入れるのはやめましょう。