良くある勘違いが機種変更したらiCloudも新しくする事。
iCloudのアカウントは今使っているiPhoneのためのアカウントではありません。iPhoneを継続的に使う人のためのメーカー登録アカウント(Apple ID)なので機種を変えても変更してはいけません。
機種変更を機会にメールアドレスを変更するのならば、iCloudアカウント（Apple ID）の「主要メールアドレス」を変更してください。Apple ID(主要メールアドレス)の変更方法
iCloudのアカウントは普通に作ると連絡先、カレンダーなどのバックアップや写真のフォトストリーム、iPhoneを探すなどのIDとして利用されます。またiTunes & App Storeのアカウントにもなっていて、購入したりダウンロードしたアプリの履歴が記録され、アップデートの案内が出るようにもなっています。
このように非常に重要なIDなので主要メールアドレス（最初に登録した時のメールアドレス）を変更したら必ず新しいメールアドレスに変更しましょう。またパスワードは忘れない様注意し、３つの質問と答えも忘れない様にメモして机にしまうなどしておきましょう。複数メアドを持っているのならば「修復用メールアドレス」を登録しておくのも重要です。
不正利用の監視のためにも主要メールアドレスに届くAppleからのメールは確認し、少しでも疑問があったらメーカーのサポートページから問い合わせする事をおすすめします。
メール自体が偽物の可能性もありますので問い合わせは必ずメーカーのページから探しましょう。
2016.2.27追記
具体的なデータ等の引き継ぎ方法を書こうと思ったのですが詳しいページを見つけたのでそちらを見てください。事前に正しくiPhoneのデータを保存（バックアップ）しておく事が大切なのでお忘れなく。
AppBank 【引き継ぎ】機種変更したiPhone 6sに古いiPhoneのデータを移す方法
残念ながらこのページには写真のバックアップについての記述がないので別に書いてみました。
iPhoneで撮影した写真を新しいiPhoneなどに移す方法